На сайте 100500 рефератов в 150 категориях	Искать реферат
Рефераты на 5 с плюсом С нашим сайтом написать реферат проще простого

Исследование характеристик устойчивости в системе популяционной динамикииз опозданием

Категория: Физика, Астрономия

версия для печати

Страница: [1] [2] [3]

Исследование характеристик устойчивости в системе популяционной динамики

с опозданием

1. Вступление

Во многих приложениях предполагается, что на поведение подопытного системы не влияет ни одна задержка во времени, то есть будущее состояние системы не зависит от предыдущих состояний и определяется только настоящим. В таких случаях динамическая системапреимущественно моделируется обычными дифференциальными уравнениями. Однако при более глубоком рассмотрении оказывается, что такой взгляд — это лишь первое приближение к действительному состоянию и реальная модель должна включать прошлые состояния системы.

Кроме того, некоторые задачи полностью теряют свой смысл без рассмотрения «предыдущей истории». Эти положения были известны и ранее,но теория систем с последействием интенсивно развивается только последние 50 лет. Достижения в области вычислительной техники очень важны, поскольку теория интегрирования, т.е. аналитического решения, для систем с последействием не столь успешна.

Первые системы, с которыми столкнулись исследователи, были биологическими. При исследовании динамикипопуляций двух антагонистических видов [7] использовались системы с опозданием. Р. Беллман [3] изучал последствия введения в кровь химического раствора. Заметим, что уравнения, описывающие этот процесс, не являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, поскольку полная циркуляция крови длится около двух минут.

Цель данной работы — проанализировать системуиммунной защиты организма, учитывая опоздание во времени. Впервые модель иммунной защиты человеческого организма была разработана группой математиков и врачей во главе с Г. И. Марчуком. Как отмечает Г. И. Марчук [1], модель дала неплохие результаты при использовании ее для лечения пневмонии и вирусного гепатита.

2. Асимптотическая устойчивость

2.1.Главные результаты теории устойчивости

Широкий круг задач связано с исследованиями динамики объектов, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием:

(2.1)

на множестве кусочно-непрерывных функций:

Одним из наиболее общих методов исследования устойчивости таких задач является прямой метод Ляпунова. Использованиятакой методики для систем с последействием связано с двумя направлениями. Первый основан на конечно-измеримых функциях Ляпунова и использует теоремы Б. С. Разумихина. Однако этот подход имеет недостаток: не доказано необходимости этих условий устойчивости. Смысл дифференциально-разностных уравнений заключается в бесконечно-мерных пространствах. Использование конечно-измеримыхфункций Ляпунова приводит к лишним достаточных условий.

. Использование функционалов — это естественное обобщение прямого метода Ляпунова для обыкновенных дифференциальных уравнений на уравнения с запаздыванием. Главный результат для автономных систем утверждает [2].

,

.

2.2. Один общий случай нелинейной системы третьегопорядка с опозданием

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с запаздыванием:

(2.2)

удовлетворяют следующим условиям:

(2.3)

— положительные константы.

Теорема 2.2. Пусть условия (2.3) выполнены.

-устойчивым.

— функция Ляпунова для скалярного уравнения:

(2.4)

Тогда:

Страница: [1] [2] [3]

версия для печати