На сайте 100500 рефератов в 150 категориях	Искать реферат
Рефераты на 5 с плюсом С нашим сайтом написать реферат проще простого

Модифицированный алгоритм Тэчер-Тьюк

Категория: Математика

версия для печати

Страница: [1] [2] [3] [4]

Замечание 2. Из формулы остаточного члена (7) следует, что интерполяционный многочлен в форме Лагранжа является точным для многочленов степени n.

(3. Требования к вычислительных алгоритмов

Приведенные выше формулы, определяющие N-точечную аппроксимацию, громоздки и мало пригодны для решения (Связывание вычислительных задач. Определим кратко те требования,которые ставятся перед вычислительным алгоритмом. Численные алгоритмы для рациональных аппроксимаций можно разделить на те, с помощью которых решения (связывают проблему коэффициентов и те, с помощью которых решения (связывают проблему значений. Проблема коэффициентов состоит в определении значений коэффициентов на основании которых формируется интерполяционная функция. Проблемазначений заключается в вычислении значения интерполяционной функции в указанной заранее точке z, когда не нужны промежуточные вычисления коэффициентов. Например, метод известен под названием (-алгоритма решения (связывает проблему значений для аппроксимаций Паде, поскольку он не н (связанный с промежуточных вычислением коэффициентов. Описанный ниже модифицированный алгоритм Тэчер-Тьюк,представляющий рациональную аппроксимацию в виде непрерывного дроби, дает решение проблемы коэффициентов. Чтобы найти некоторую таблицу значений интерполюючои рациональной функции, то зачастую выгоднее решения (связать сначала проблему коэффициентов и затем вычислять значение аппроксимации в различных точках. Чтобы вычислить одно значение, тоиногда удобнее не обращаться к промежуточной задачи вычисления коэффициентов. И на практике вычисления полиномов и непрерывных дробей довольно быстрой процедурой и поэтому проблема коэффициентов особенно важна. Заметим, что представление интерполюючои функции в виде непрерывного дроби повышает эффективность вычислений по сравнению с использованием полиномиальныхотношений, которые характерны для аппроксимаций Паде.

Важно и желательно, чтобы применяемые методы корректно работали в случае наличия кратных узлов интерполяции. Другой желанной признаку численных методов рациональной аппроксимации является надежность. Не всегда существует рациональная функция определенного вида, удовлетворяющего наложенным условиям интерполяции. Надежныйметод аппроксимации должно указать, что задача не имеет решения (язку. Численный алгоритм должен различать задачи имеющих и не имеющих решения (связей с учетом ошибок представления и округления. Анализ этого вопроса приводит нас к понятию устойчивости алгоритма, которое тесно (связано с понятием надежности. Алгоритм устойчив, если малые изменения исходных данных приводятк небольшим изменениям результата. Хороший алгоритм рациональной интерполяции должен быть в состоянии выделить те случаи, когда исходные данные приводят к неустойчивому результата.

Заметим, что рекуррентные методы нахождения интерполюючои рациональной функции могут быть н (связаны с предположением, что существуют промежуточные аппроксимации. В случае существованиенужной интерполяции надежный алгоритм должен срабатывать даже в случае, когда некоторые промежуточные аппроксимации вырожденные или не существуют.

Все эти качественные характеристики хорошего алгоритма вряд ли полностью совместимы, поэтому выбор «лучшего» обуславливает наличие тех или иных компромиссов. В любом случае для практического применениянам нужен алгоритм эффективен, надежен и устойчив.

Рассмотрим некоторые алгоритмы, которые являются лучшими среди существующих.

(4. Метод обратных разностей Тиле.

Этот метод дает представление N -точечной аппроксимации Паде в виде непрерывного дроби. В основном варианте алгоритма узлы интерполяции должны быть разные; элементы дроби, отвечающиеслучае кратных узлов, могут быть получены по непрерывности. Обратные разницы определяются следующими равенствами:

(8)

и в общем случае (для n> 1)

< br>
, представляется в виде

(9)

Проверка. Докажем сначала за индукцией следующую тождество:

(10)

При n = 0отношение (10) имеет вид

это эквивалентно (8). При n> 0 преобразуем последний знаменатель (10) с помощью тождества:

которая после простых преобразований принимает вид

и следовательно является (n + 1)-точечной аппроксимацией.

Метод аппроксимации Тиле более интересен с аналитической точки зрения. С вычислительных позиций следующаясхема не менее эффективна чем любая другая.

(5. Модифицированный алгоритм Тэчер-Тьюк.

, в виде

(11)

Страница: [1] [2] [3] [4]

версия для печати