На сайте 100500 рефератов в 150 категориях	Искать реферат
Рефераты на 5 с плюсом С нашим сайтом написать реферат проще простого

Непрерывность и функция

Категория: Технологии

версия для печати

Страница: [1] [2]

ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ, раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций делится на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велика, что обычно их рассматривают как две различные области. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что по сути речь идет оразличие, с одной стороны, в детальном изучении основных понятий математического анализа (таких, как непрерывность, дифференцирование, интегрирование и т.п.), а с другой стороны, в теоретическом развитии анализа конкретных функций, представленных степенно рядами. Одним из достижений теории функций действительного переменного стало создание теории интегрирования.

ФУНКЦИИДействительного переменного

Функции, используемые в элементарном анализе, задаются формулами. Их графики обычно можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, как, например, график функции у = sinx, или они состоят из отдельных кусков, обладающих этим свойством, как, например, график функции у = tgx

Сначала , когда загальнодоведенеопределение непрерывности отсутствовало, все функции, графики которых состояли из одной части, считались обязательно незперервнимы. Например, считалось, что незперервною можно считать функцию, график которой не может лежать по обе стороны от прямой, не пересекая ее. Иначе говоря, непрерывная функция, принимая какие-либо два значения, непременно принимаети все промежуточные значения. Однако нетрудно найти функции, которые, хотя и заданы формулами и обладают указанным свойством, не имеют свойств непрерывных. Например, функция f (х) = sin (1 / х) при х? 0 и f (0) = 0 обладает свойством, о которой идет речь, однако, по мнению многих, не является непрерывной. Можно построить еще более удивительные примеры функций, принимающихдействительное значение на любом, даже малом интервале, но однако не являются непрерывными. Графики таких функций не только невозможно начертить, но иногда даже четко представить. Кроме того, работы Ж. Фурье (1768 1830) и П. Дирихле (1805 1859), связанные с рядами Фурье показали, что некоторые явно разрывные функции задаются формулами, по крайней мере, если в числопоследних включить бесконечные ряды.

Логические трудности, возникшие при этом были постепенно преодолены с помощью приема, типичного для теории функций: понятием «функция» и «непрерывность» были даны строгие определения и исследованы вытекающие из них логические выводы. Оказалось, что эти выводы не находятся в точном соответствии интуиции, о чемсвидетельствуют приведенные примеры. Один из самых знаменитых примеров такого рода был предложен К. Вейерштрассом (1815 1897) пример непрерывной, но функции, нигде (ни в одной точке) не дифференцируется. В математика, что столкнулся с таким примером, может возникнуть много вопросов, например, «В каких непрерывных функций существуют производные?», Или «Какможно изменить понятие производной, чтобы оно стало применимым к большинству непрерывных функций? », или" Какими дополнительными свойствами обладают функции, недиференциюються? «. Проблемами такого рода и занимается теория функций действительного переменного.

Первое, что требуется от теории функций, дать определение понятия «функции». Функция это правило,которое каждому числу (или каждой точке) с данного множества ставит в соответствие другое число, называемое значением функции в этой точке. Например, одна функция ставит в соответствие каждому действительному числу его квадрат, другая ставит в соответствие каждому положительному действительному числу его логарифм, третья функция ставит в соответствие каждому рациональномучислу, записанному в виде несократимой дроби, знаменатель этой дроби. Все названные функции имеют различные области определения; областью определения функции называется множество точек, на которой она определена.

Функция называется непрерывной в точке, если любому бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращениефункции. Функция, непрерывная во всех точках области определения, называется непрерывной. Например, функция, принимающая в точке х значение x2, непрерывна; но функция, принимающая в точке х значение, равное ближайшему к х целого числа, не превосходящего х, непрерывной не является. Действительно, значение этой функции изменяется скачком с 0 на 1, когда х меняетсяот значения, меньшего 1 / 2 на сколь угодно малую величину, до значения, большего 1 / 2, на сколь угодно малую величину. На формальном математическом языке можно сказать, что функция f, принимающая значение f (х), непрерывная в точке у в том случае, если для любого положительного числа? найдется такое число? , Что для всех точек х из области определения f (х),удовлетворяющих условию | х в |

Страница: [1] [2]

версия для печати