На сайте 100500 рефератов в 150 категориях	Искать реферат
Рефераты на 5 с плюсом С нашим сайтом написать реферат проще простого

Дифференциальные уравнения

Категория: Математика

версия для печати

Страница: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

с начальным условием

I (0) = 0. (27)

Случай а). При постоянном токе E (t) = E уравнения (26) с начальным условием (27) аналогично уравнению (22) с начальным условием (4). Решив его по формуле (23), найдем

. (28)

С (28) имеем, что с ростом времени t сила тока I (t) приближается к постоянному значениюE / R. Таким образом, в встановившомуся режиме при постоянной ЭДС источника тока возникающей в цепи ток «не замечает» индуктивности и подчиняется закону Ома для замкнутой участка цепи постоянного тока.

3. Падение тили

При падении тел в пустоте движение происходит прямолинейно под действием силы тяжести. При падении тел в воздухе движениеможно считать также прямолинейным, что происходит под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха, направленной вверх.

Задача. Найти скорость v (t) движения тела, падающего в воздухе на землю, считая силу сопротивления воздуха прямо пропорциональной скорости движения и начальную скорость равной v0 м / с.

Решение. Направим вот Оу вертикально вниз вдольтраектории падения тела. На тело будут действовать две силы: сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Проекция силы тяжести на ось Оу равен mg, где m-масса тела; проекция силы сопротивления воздуха на вот Оу, согласно условию задачи, равна — kv (t), где k-коэффициент пропорциональности. Проекция ускорения движения тела в ту же вот равна производной v ’(t). На основании второгозакона Ньютона получим

mu ’(t) == mg — kv (t),

или v’ (t) + k1v (t) = g, (29)

где k1 = k / m.

Уравнение (29) — линейное дифференциальное уравнение типа (22) с начальным условием

v (0) = v0. По формуле (23) найдем его решение:

. Величина k зависит от диаметра купола парашюта. Это позволяет (приизвестном смысле mg) произвести расчет так, чтобы скорость спуска парашютиста была безопасной для приземления. Обычно такая скорость равна 5-7 м / с.

Задача. Найти скорость v (t) движения тела, падающего в пустоте на землю, считая начальную скорость движения равной v0.

Решение. В этом случае сопротивление воздуха будет отсутствовать и уравнения(29) видоизменяется

v ’(t) = g. (30)

В результате интегрирования получим множество решений v (t) = gt + C, из которого найдем решение уравнения (30), удовлетворяющее заданной начальной условию v (0) = v0: v (t) = v0 + gt-результат, хорошо известный из курса физики.

III. Гармонические колебания

x = 0, (31)

— Некоторое положительное число.

Непосредственной подстановкой проверяем, что функция

t + () (32)

для любых постоянных A и (является решением уравнения (31 ). Можно показать, что других решений уравнения (31) не имеет. Таким образом, функция (32) задает общее решение уравнения (31).

называют частотой колебания.

.

. Для их определения необходимо задать два условия, например,

x (t0) = x0, x ’(t0) = v0. (33)

Страница: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

версия для печати