На сайте 100500 рефератов в 150 категориях	Искать реферат
Рефераты на 5 с плюсом С нашим сайтом написать реферат проще простого

Дифференциальные уравнения

Категория: Математика

версия для печати

Страница: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

(8)

где a — это ускорение движения материальной точки массы m, F — результирующая всех сил действующих на материальную точку.

Скорость движения v (t) и ускорения a (t) являются функциями от времени t, также, как известно v ’(t) = a (t). Заметим, что действия над векторами, проведенных вдоль одной прямой, на которой выбрано положительный направление можно заменить на действиянад их проекциями на эту же прямую. Таким образом, в случае движения материальной точки вдоль оси Ox равенство (8) может быть заменен равенством

mv ’(t) = F, (9)

на эту вот. Уравнение (9) описывает также и поступательное движение тела. Такое движение можно рассматривать как движение материальной точки, расположенной в центре масс тела, под действием сил,приложенных к центру масс.

Задача. Моторная лодка движется в стоячей воде со скоростью 5 м / с. На полном ходу ее мотор был выключен; через 4 с ее скорость стала равной 1 м / с. Считая, что сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки, определить, через сколько секунд после выключения мотора скорость уменьшится до 4 см / с?

Решение.Будем считать, что лодка движется прямолинейно. Направим вот Ох вдоль движения лодки. Обозначим через v (t) скорость движения лодки в момент времени t после выключения мотора. В момент выключения мотора (t = 0) скорость, с условием, равна 5 м / с, или

v (0) = 5. (10)

Это — начальное условие задачи. Составим дифференциальное уравнение. Пусть массалодки равна m. По условию, на рухаючийся лодку действует сила F =- k1v (t), где k1> 0 (знак минус означает, что сила сопротивления воды направлена ??против скорости движения лодки). Подставив это значение F в уравнение (9) и обозначив m k1 = k, получим дифференциальное уравнение

v ’(t) =- kv (t), k> 0,

аналогично уравнению ( 3). По формуле (7) найдем егорешение при начальной условию (10):

.

Используя дополнительное условие v (4) = 1 м / с, найдем

— это закон изменения скорости движения лодки после остановки мотора. Для ответа на вопрос нужно решить уравнение v (t) = 0,04 относительно t. Решив его получим, что t = 12с.

2. Радиоактивный распад.

. Иными словами:скорость распада атомов радиоактивного вещества пропорциональна количеству нерозпавшихся атомов, а именно

(11)

Где М (t) — количество нерозпавшихся радиоактивных атомов вещества в момент времени t, М ’(t) — скорость их распада. Поскольку с течением времени количество нерозпавшихся атомов уменьшается, то производная М ’(t) отрицательна. Уравнение (11) является дифференциальнымуравнением, аналогичным дифференциальному уравнению показательного роста (3). Учитывая связь между числом ядер и массой радиоактивного вещества, будем говорить просто о распаде радиоактивного вещества.

Задача. Есть М0 радиоактивного вещества. Если за 30 лет распадается 50% его, то через сколько времени останется 25% первоначального количества?

Решение.Обозначим через M (t) количество радиоактивного вещества в момент времени t. Тогда

M (0) = M0 (12)

Это — начальное условие задачи. Решив уравнение (11) при начальной условию (12) получим

(13)

Приняв во внимание, что M (30) = M0 / 2, из формулы (13) найдем < br>

С помощью несложных вычислений получим,что ответ 60 лет.

3. Поглощение света

При прохождении света через воду (или стекло) некоторая его часть поглощается. Пусть на поверхность воды перпендикулярно к ней падает свет с интенсивностью A0, интенсивность света на глубине х обозначим через А (х). Производная А ’(х) — скорость поглощения света на глубине х. С оптики известно,что для таких среди, как вода или стекло, скорость поглощения света на глубине х пропорциональной интенсивности света на этой глубине, а именно

(14)

Страница: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

версия для печати