На сайте 100500 рефератов в 150 категориях	Искать реферат
Рефераты на 5 с плюсом С нашим сайтом написать реферат проще простого

Дифференциальные уравнения

Категория: Математика

версия для печати

Страница: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

y’’+ 4у = 0 является дифференциальным уравнением второго порядка.

Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция и ее производная, то это уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. Если, кроме того, в уравнение входит производная второго порядка от искомой функции, то уравнение называется дифференциальным уравнением второго порядкаи т. д.

Любую функцию, удовлетворяющую дифференциальное уравнение, называют решением, или интегралом этого уравнения, а решения дифференциального уравнения — интегрированием. Например, функция у = ex является решением дифференциального уравнения у — у ’= 0, ибо (еx)’ = ex.

Функция у = cos x является решением дифференциального уравнения у «+ у ==0.

Действительно, для функции у = cos x, имеем:

в «= - cos x. Подставляя значение в» в уравнение y «+ у = 0, получим — cos x + cos x = 0.

Аналогично можно убедиться, что функция у = A sin x + В cos x, где А и В — произвольные постоянные, также является решением данного уравнения.

Рассмотрим задачу геометрического смысла. Решение этой задачипоможет выяснить содержание произвольных постоянных.

Задача. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М (1, 2), если угловой коэффициент проведенной к нему касательной равен 4×3.

Решение. В этой задаче нужно найти формулу, которая задает функцию F, производной которой является функция f (x) = 4×3, то есть надо найти первоначальную функции y = 4×3. Кроме того,известно, что график искомой функции проходит через заданную точку М (1, 2).

Множество первобытных всех функций для функции y = 4×3 имеет вид F (x) = x4 + С, где С — произвольная постоянная. Чтобы выделить из этого множества первоначальную, график которой проходит через точку М (1, 2), учитывается, что если x = 1, значение функции F (1) должен быть равен 2. Подставляя в равенство F (x)= X4 + С вместо x число 1, а вместо F (x) — число 2, получим 2 = 1 + С, откуда С = 1. Подставляя значение С в ту же равенство получим, что F (x) = x4 +1 — искомое уравнение кривой, проходящей через точку М (1, 2).

Итак определены произвольные стали значительно сужают множество решений и помогают найти друг — нужен для данной задачи.

Общимрешением данного дифференциального уравнения называется решение (если он существует), у которого число произвольных постоянных равно порядковые уравнения.

Решение дифференциального уравнения при определенных, значениях произвольных постоянных называется отдельным решением этого дифференциального уравнения .

Так, в рассмотренном выше примере у »+ у = 0 решениеу = A sin x + В cos x является общим, а решение у = cos x — отдельным.

На практике большей частью отдельный решение конкретного дифференциального уравнения находят из общего решения, исходя из некоторых условий , которым должен удовлетворять искомый отдельный развязок. Условия, которым должна удовлетворять отдельный решение данного дифференциального уравнения, называютначальными условиями.

Задача отыскания конкретного отдельного решения данного дифференциального уравнения с начальными условиями называется, задачей Коши.

Примеры. Найти отдельное решение дифференциального уравнения

уy ’+2 х = 0. (1)

удовлетворяющее начальным условиям: у = 4, х = 3, если общее решениеданного уравнения заданы в виде

х2 + у2 = а2 (2)

Решение. Подставив в общее решение (2) начальные условия, получим значение произвольной постоянной 32 + 42 = a2, отсюда а = ± 5. Итак, искомый отдельный решение дифференциального уравнения (1) для заданных начальных условий является функция у, заданная уравнением х2 + у2 = 25.

Дадимгеометрическую интерпретацию решения уравнения (1).

Поскольку каждый отдельный решение данного уравнения е некоторой функцией одной переменной, то в прямоугольной системе координат на плоскости этом решении соответствует некоторая линия. Эта линия называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения. Общем решении дифференциального уравнения соответствуетмножество всех интегральных кривых этого уравнения, которая называется семьей интегральных кривых дифференциального уравнения.

Мы установили, что отдельным решением уравнения уу ’+ 2х = 0 при начальных условиях х = 3 и у = 4 является кривая

х2 + у2 = 25, а общим решением x2 + y2 = а2.

В системе координат на плоскости общее решение задает множествоконцентрических кругов с центром в начале координат. Начальные условия означают, что среди этого множества кругов надо принять то, которое проходит через точку с координатами х = 3, у = 4. Это окружность радиуса 5, т.е. x2 + у2 = 25.

Многие физические законы имеют вид дифференциальных уравнений. Интегрирования этих уравнений — сложное дело. Одни дифференциальные уравненияудается решить в явном виде, то есть записать искомую функцию в виде формулы. Для других все еще не найдено удобных формул. В этих случаях находят приближенные решения с помощью ЭВМ. Дифференциальные уравнения достаточно просто и полно описывают производственные процессы. Поэтому важно не только уметь их решать, но и сочинять.

2. ИсторическаяСправка.

Страница: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

версия для печати