На сайте 100500 рефератов в 150 категориях	Искать реферат
Рефераты на 5 с плюсом С нашим сайтом написать реферат проще простого

Дифференциальные уравнения

Категория: Математика

версия для печати

Страница: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

В конце XVII — начале XVIII в. разнообразные практические и научные проблемы привели к появлению дифференциальных уравнений. Прежде всего это были дифференциальные уравнения первого порядка, интегрирование которых пытались осуществить с помощью функций, выражающих конечное число алгебраических действий или таких, которые включают элементарные неалгебраични действия, напримероперирования тригонометрическими функциями.

Простейшие дифференциальные уравнения появились уже в трудах Исаака Ньютона (1643-1727) и Готфрида Лейбница (1646-1716). Именно Лейбницу и принадлежит термин «дифференциальное уравнение». Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, они являются орудием исследования многих задач естествознания и техники.их широко используют в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что-довольно часто объективные законы, которым подчиняются определенные явления (процессы), записывают в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов.

Например, физические законы описывают некоторыесоотношение между величинами, характеризующими определенный процесс, и скоростью изменения этих величин. Иными словами, эти законы выражаются равенствами, в которых есть неизвестные функции и их производные.

В XVIII в. теория дифференциальных уравнений отделилась по математическому анализу в самостоятельную математическую дисциплину, ее успехи связаны с именами швейцарскогоученого Иоганна Бернулли (1667-1748), французского математика Жозефа Лагранжа (1736-1813) и особенно Леонарда Эйлера.

Первый период развития дифференциальных уравнений был связан с успешным развязыванием некоторых важных прикладных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, разработкой методов интегрирования различных типов дифференциальных уравненийи поиском классов уравнений, решения которых можно представить в виде элементарных функций или их первоначальных. Однако очень быстро оказалось, что интегрированных дифференциальных уравнений совсем немного. Это привело к развитию собственно теории дифференциальных уравнений, которая занимается разработкой методов, позволяющих по свойствам дифференциального уравнения определитьсвойства и характер его решения.

В связи с потребностями практики постепенно разрабатывались и способы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Эти методы дают удобные алгоритмы вычислений с эффективными оценками точности, а современная вычислительная техника позволяет экономично и быстро свести решение каждой такой задачи до числовогорезультата.

2. Основная часть.

I. Уравнение показательного роста

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

y ’(x) = ky (x) (3)

где k — постоянная, а y (x) — искомая функция.

Уравнение (3) называется уравнением показательного роста. Оно имеет такой смысл: для каждого значения аргумента, скорость изменения функции пропорциональнозначению данной функции.

Чтобы найти развязки уравнения (3), можно поступить следующим образом. Пусть y (x) — некоторое решение, это означает, что y ’(x) — ky (x) = 0 верно. Умножив обе части равенства на отличный от 0 множитель e-kx, получим верную равенство

e-kx y ’(x) — e-kx ky (x) = 0 (4)

Так как (e-kx y (x)) ’= e-kxy ’(x) — ke-kx y (x), то равенство (4) можно записать так

(e-kx y (x))’ = 0,

откуда e- kx y (x) = C, или

y (x) = Cekx, (5)

где C — некоторая произвольная постоянная.

Следовательно, только функции вида ( 5) могут быть решениями уравнения показательного роста (3). Непосредственная подстановка в уравнение (3) показывает, что при любой постояннойC функция (5) является решением уравнения (3). Таким образом, формула (5) определяет множество решений уравнения (3).

Чтобы с найденной множества решений (5) отделить определенное, нужно знать константу C. Для этого нужны дополнительные условия — так называемые начальные условия; в данном случае достаточно знать значения искомой функции при некоторомзначении аргумента:

y (x0) = y0 (6)

Подставив начальную условие (6) в решение уравнения (5), найдем y0 = Cekx0, откуда C = y0e-kx0 . Подставив это значение C в формулу (5), получим решение уравнения показательного роста, удовлетворяющее задали ней начальной условию (6):

y (x) = y0ek (x-x0). (7)

Мы видим, что постоянныйC по начальной условию (6) определяется однозначно; вот почему решение (7), который удовлетворяет данному начальной условии будет единственным.

Пример. Решить уравнение y ’(x) = 3y (x), если y (0) = 2.

Здесь k = 3, x0 = 0, y0 = 2; решения можно записать по формуле ( 7): y (x) = 2e3x. Это будет единственное решение, удовлетворяющий заданной начальной условию.

Рассмотримнекоторые приложения уравнения (3). При решении задач необходимо сначала составить дифференциальное уравнение, указать начальную условие, а затем решить уравнение. При составлении уравнения обычно используют известные из курсов физики и химии законы.

1. Скорость прямолинейного движения.

С второго закона Ньютона

Страница: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

версия для печати