На сайте 100500 рефератов в 150 категориях	Искать реферат
Рефераты на 5 с плюсом С нашим сайтом написать реферат проще простого

Дифференциальные уравнения

Категория: Математика

версия для печати

Страница: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

Так как интенсивность света А (х) с увеличением глубины х уменьшается, то производная А ’(х) отрицательна. Уравнение (14) является дифференциальным уравнением типа (3) относительно функции А (х).

Яркости дневного света?

Решение. Начальное условие задачи имеет вид

A (0) = A0 (15)

Записав решение уравнения (14) при начальной условии(15) по формуле (5), получим A (x) = A0e-kx; откуда, используя дополнительное условие A (10) = 0,6 A0, найдем

Закон поглощения света будет вид

Для определения в задаче глубины х получим уравнение

247 м.

4. Концентрация раствора.

Задача. Есть сосуд емкостью а л, наполненный водным растворомсоли. В сосуд вливается вода со скоростью b л в минуту, перемешивается, и раствор, получаемый однородной концентрации выходит из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет содержаться в растворе в момент времени t, если в начальный момент (t = 0) она была в растворе A0 кг? Вычислить ответ, если а = 100 л, A0 = 10 кг, b = 3 л в минуту, t = 1 час.

Решение.Обозначим через A (t) количество соли в растворе в момент времени t. Концентрация раствора в этот момент времени будет равна A (t) / a. Изменение количества соли в растворе в единицу времени равен разности между количеством соли, поступающей в сосуд и выходящий из нее. Но соль в сосуд не поступает, а выходит из него в единицу времени bA (t) / a. Поэтому скорость А ’(t) измененияколичества соли в растворе равна

(16)

Знак минус указывает на уменьшение количества соли в растворе. Имеем дифференциальное уравнение типа (3) с начальным условием

А (0) = А0 (17)

1,654 кг.

II. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Подобно тому, как в алгебре возникает понятие степени алгебраическогоуравнения, в анализе возникает понятие порядка дифференциального уравнения.

Если дифференциальное уравнение содержит только первую производную этой функции, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. С дифференциальных уравнений первого порядка для приложений большое значение имеют уравнения вида

y ’(x) + p (x) y (x) = q (x), (19)

Гдер (x) и q (x) — некоторые непрерывные функции; в а именно, они могут быть постоянными. Это уравнение линейное относительно этой функции и ее производной. Такие уравнения называются линейными дифференциальными уравнениями. При q (x) = 0 уравнения (18) имеет вид

y ’(x) + p (x) y (x) = 0 (20)

Обозначим через v (х) одну из первоначальных функции р (х) и умножимо обечасти равенства (20) на отличный от нуля множитель ЕV (x). Заметив, что

v ’(х) = р (х), получим справедливую равенство (y (x) ev (x))’ = 0. Итак,

y (х) ЕV (x) = C, где C-произвольная постоянная, откуда

y (х) = Се-v (x). (21)

Итак, если у (х) — решение уравнения (19), то оно имеет вид (21). Непосредственной подстановкой в ??уравнение(19) функции (21) убеждаемся, что при любом значении постоянной С она является решением уравнения (19). Итак, формула (21) дает множество всех решений уравнения (19). При начальной условию (6) из нее можно получить определенный развязок.

0, q (x) = a (k и а — постоянные), уравнение

Страница: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

версия для печати