На сайте 100500 рефератов в 150 категориях	Искать реферат
Рефераты на 5 с плюсом С нашим сайтом написать реферат проще простого

Дифференциальные уравнения

Категория: Математика

версия для печати

Страница: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

y ’(x) + ky (x) = a (22)

Можно переписать в виде однородного уравнения

.

Отсюда видно, что множество всех решений y (x) этого уравнения определяется формулой

y (x) = Ce-kx + a / k,

а решение уравнения (22), удовлетворяющее начальным условиям (6), — формуле

(23)

Рассмотрим некоторые задачи на приложениялинейных уравнений.

1. Охлаждение тела

Нагретый тело, помещенное в среду с более низкой температурой, будет охлаждаться, при этом скорость охлаждения с течением времени уменьшается. Как известно, скорость охлаждения поверхности тела в любой ее точке пропорциональна разности температур поверхности тела и окружающей среды.

Задача. Металлическаядеталь, нагретая до 500 ° С, охлаждается в, воздухе при температуре 20 ° С. Через 10 минут после начала охлаждения температура на поверхности детали понизилась до 100 ° С. Какой будет температура на поверхности детали через 20 минут?

Решение. Обозначим через U (t) температуру на поверхности детали в момент времени t после начала охлаждения. По условию

U(0) = 500 (24)

Это — начальное условие задачи. Скорость охлаждения поверхности детали в момент времени t равна U ’(t). Считая температуру воздуха постоянной, получим:

U (t) =-k (U (t) −20), k> 0.

Так, как температура на поверхности детали уменьшается, то производная отрицательная. Отсюда для U (t) получим линейное дифференциальное уравнение,аналогичное уравнению (22):

U ’(t) + kU (t) = 20k

Решая его по формуле (23) с начальным условием (24), получим

U (t) = 480e-kt +20

. Если t = 20 получим U (20) = 33 +1 / 3.

2. Простейшие электрические цепи

Если в замкнутую электрическую цепь последовательно включены источник тока с электродвижущей силой (ЭДС)Е, В, активное сопротивление R Ом, катушка с индуктивностью L Гн и конденсатор емкостью С, Ф, то, как известно из электротехники, между ЭДС и напряжениями на активном сопротивлении, катушке индуктивности и конденсаторе в любой момент времени t существует такая зависимость :

E = UR + UC + UL. (25)

Здесь UR = RI (t) — напряжение на активном сопротивлении, UC = q (t) / C — напряжение на конденсатореи UL = LI ’(t) — напряжение на катушке индуктивности; I (t) — сила тока в цепи в момент времени t, которая измеряется в амперах, q (t) — заряд конденсатора в момент времени t, которых измеряется в кулонах.

Используя соотношения (25) и зная, что q ’(t) = I (t), можно найти силу тока в цепи в зависимости от заданной ЭДС источника тока.

0) и активное сопротивление R, Ом. Найти закон изменения силы тока I (t) в цепи, считая, что в начальный момент времени (t = 0) она равна нулю. Рассмотреть случай когда ЭДС постоянный — E (t) = E;

Решение. Используя (25), после соответствующих подстановок получим соотношение

,

которое при заданных R, L и E (t) можно рассматривать как линейноедифференциальное уравнение

(26)

Страница: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

версия для печати